निम्नलिखित आव्यूह को एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$

माना $A = \left[\begin{array}{ccc}3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2\end{array}\right]$. तब,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right]$.
$A$ को एक सममित और एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम सूत्र $A = P + Q$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ सममित है और $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ विषम-सममित है।
सबसे पहले,$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & -5 \\ 1 & -4 & -4 \\ -5 & -4 & 4\end{array}\right]$ की गणना करें।
अतः,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right]$. चूँकि $P^{\prime} = P$,$P$ सममित है।
अगला,$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & 5 & 3 \\ -5 & 0 & 6 \\ -3 & -6 & 0\end{array}\right]$ की गणना करें।
अतः,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$. चूँकि $Q^{\prime} = -Q$,$Q$ विषम-सममित है।
इसलिए,$A = \left[\begin{array}{ccc}3 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & -2 & -2 \\ -\frac{5}{2} & -2 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & 0 & 3 \\ -\frac{3}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$.